Question

已知x²+2y²+z²=4则x-2y+2z的最小值为

-2

7

．

Answer 1

分析：可以根据柯西不等式

n

i=1

ai2•

n

i=1

bi2≥(

n

i=1

aibi)2来解决．

解答：解：∵4×7=[1²+（-

2

）²+2²]×[x²+2y²+z²]≥（x-2y+2z）²．
∴|x-2y+2z|≤2

7

，
∴-2

7

≤x-2y+2z≤2

7

，当且仅当

x

1

=

2 y

- 2

=

z

2

时取等号．
∴当x=-

2 7

7

，y=

2 7

7

，z=-

4 7

7

时x-2y+2z=-2

7

．
∴（x-2y+2z）最小值为：-2

7

．
故答案为：-2

7

点评：本题考查柯西不等式的应用，掌握柯西不等式

n

i=1

ai2•

n

i=1

bi2≥(

n

i=1

aibi)2是解决问题的关键，特别是等号成立的条件，属于难题．