Question

已知函数f（x）=x²，集合A={x|f（x-3）＜1}，集合B={x|f（x-2a）＜a²}．
（1）求集合A；
（2）求集合B；
（3）若A∪B=B，求实数a的取值范围．

Answer 1

解：（1）集合A={x|f（x-3）＜1}={x|（x-3）²＜1}={x|2＜x＜4}，
（2）∵f（x）=x² f（x-2a）＜a²
x²-4ax+3a²＜0
当a＞0时则a＜x＜3a，
当a＜0时则3a＜x＜a
∴集合B={x|a＜x＜3a，a＞0}或集合B={x|3a＜x＜a，a＜0}．
（3）∵A∪B=B∴A⊆B
当a＞0时，∴解得：1≤a≤2
当a＜0时∴无解
即a的取值范围[1，2]
分析：（1）解不等式（x-3）²＜1即可求出集合A；
（2）根据题意知x²-4ax+3a²＜0，然后对a的正负进行讨论解不等式，从而得出集合B；
（3）利用A∪B=B得出A⊆B是解决本题的关键，再结合数轴得出字母a满足的不等式，进而求出取值范围．
点评：此题研究的是集合关系中的参数取值问题，集合B不确定，是可以调节变动的，此题是一道基础题．