Question

8．已知a＞0，b＞0，且a+2b=$\frac{4}{a}$+$\frac{2}{b}$
（1）证明a+2b≥4；
（2）若（a-1）（b-1）＞0，求$\frac{1}{lo{g}_{2}a}$+$\frac{3}{lo{g}_{2}b}$的最小值．

Answer 1

分析 （1）根据基本不等式即可证明，
（2）根据对数的性质求出log₂a+log₂b=1，根据基本不等式即可求出．

解答 解：（1）证明：由$a+2b=\frac{4}{a}+\frac{2}{b}$（a＞0，b＞0）得，$a+2b=\frac{2a+4b}{a•b}$，即ab=2，
∴$a+2b≥2\sqrt{a•2b}=2\sqrt{4}=4$，当且仅当a=2b=2时取等号．
（2）∵log₂a+log₂b=log₂（ab）=log₂2=1，
∴$\frac{1}{{{{log}_2}a}}+\frac{3}{{{{log}_2}b}}=（\frac{1}{{{{log}_2}a}}+\frac{3}{{{{log}_2}b}}）•（{log_2}a+{log_2}b）=4+\frac{{{{log}_2}b}}{{{{log}_2}a}}+\frac{{3{{log}_2}a}}{{{{log}_2}b}}$，
∵（a-1）（b-1）＞0，
∴0＜a＜1，0＜b＜1或a＞1，b＞1，
则$\frac{{{{log}_2}b}}{{{{log}_2}a}}＞0，\frac{{3{{log}_2}a}}{{{{log}_2}b}}＞0$，
∴$4+\frac{{{{log}_2}b}}{{{{log}_2}a}}+\frac{{3{{log}_2}a}}{{{{log}_2}b}}≥4+2\sqrt{3}$，
即$\frac{1}{{{{log}_2}a}}+\frac{3}{{{{log}_2}b}}$的最小值为$4+2\sqrt{3}$．

点评 本题考查了基本不等式的应用，关键是掌握不等式成立的条件，属于基础题．