Question

设抛物线经过两点（-1，6）和（-1，-2）对称轴与x轴平行，开口向右，直线y=2x+7被抛物线截得的线段的长是，求抛物线的方程．

Answer 1

【答案】分析：由两点（-1，6）和（-1，-2）的中点为（-1，2），因此可设要求的抛物线方程为（y-2）²=2p（x+a）．（p＞0）．由于点（-1，6）在抛物线上，代入可得2p（-1+a）=16，化为p（a-1）=8．因此．
设直线y=2x+7与抛物线相交于点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
联立，化为4（a-1）x²+（20a-36）x+9a-25=0．（a＞0，a≠1），利用根与系数的关系、弦长公式即可得到a，p．
解答：解：∵两点（-1，6）和（-1，-2）的中点为（-1，2），因此可设要求的抛物线方程为（y-2）²=2p（x+a）．（p＞0）．
∵点（-1，6）在抛物线上，∴2p（-1+a）=16，化为p（a-1）=8．∴．
设直线y=2x+7与抛物线相交于点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
联立，化为4（a-1）x²+（20a-36）x+9a-25=0．（a＞0，a≠1）
∴x₁+x₂=，x₁x₂=．
∵|AB|==，
∴=16×10，化为2a²-a-3=0，解得a=-1或a=．
∵a＞0，∴a=．
∴=16．
∴抛物线的方程为．
点评：熟练掌握抛物线的对称性、直线与抛物线相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、弦长公式等是解题的关键．