Question

（2013•珠海二模）已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），点P(

15

5

a，

1

2

a)在椭圆上．
（1）求椭圆的离心率；
（2）设A椭圆的右顶点，O坐标原点，若Q椭圆上且满足|AQ|=|AO|，求直线OQ的斜率的值．

Answer 1

分析：（1）直接把点P的坐标代入椭圆方程，结合a²=b²+c²即可得到椭圆的离心率；
（2）由题意可知直线OQ的斜率存在且不等于0，设出OQ所在直线方程，设出Q点的坐标，和椭圆方程联立后求出Q点的横坐标，再由|AQ|=|AO|求出Q点横坐标的另一表达式，由两横坐标相等，同时结合（1）中得到的a和b的关系即可得到关于k的方程，解方程可求k的值．

解答：解：（1）因为点P（

15 a

5

，

1

2

a）在椭圆上，所以

15a2

25a2

+

a2

4b2

=1，
整理得：5a²=8b²，则5a²=8（a²-c²），
所以

c2

a2

=

3

8

，则e=

6

4

；
（2）设直线OQ的斜率为k，则其方程为y=kx
设点Q的坐标为（x₀，y₀），由条件得

y0=kx0 x02 a2 + y02 b2 =1

，
消元并整理可得x02=

a2b2

k2a2+b2

①
因为|AQ|=|AO|，A（a，0），y₀=kx₀，
所以(x0-a)2+k2x02=a2，
所以(1+k2)x02=2ax0，
因为x₀≠0，
所以x0=

2a

1+k2

．
代入①，整理得

4a2

(1+k2)2

=

a2b2

k2a2+b2

，
因为

b2

a2

=

5

8

，
所以(1+k2)2=

32

5

k2，
整理得，5k⁴-22k²-15=0
所以k²=5，则k=±

5

．

点评：本题考查了椭圆的标准方程，考查了直线与圆锥曲线的关系，直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现，主要涉及位置关系的判定，弦长问题、最值问题、对称问题、轨迹问题等．突出考查了数形结合、分类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想方法．属难题．