Question

已知抛物线过焦点的任一条弦，设且

（1）若，求抛物线方程；

（2）是否存在常数，使，若存在，求出的值，并给予证明，若不存在，请说明理由；

（3）在抛物线对称轴（的正方向）上是否存在一定点，经过点的任意一条弦，使为定值，若存在，则求出定点的坐标和定值，若不存在，请说明理由.

Answer 1

（1）  （2）存在，  （3）存在，定点为，定值为

解析:

（1）解：设代入

得

所以，抛物线方程为-----------------------------------------------------------------------4分

（2）当轴时，

猜想：存在

一般地证明：，其中是的斜率，由抛物线的定义知，同理

，证毕-------10分

（3）解：假设存在这样的定点

先探求定点坐标及定值，当轴时，有，又

，当绕点转动时，点点，

得，点无穷远，，，由假设知

，猜想过定点为，定值为---------------------------------13分

再证明：结论：存在定点，过点的任意弦，使（定值）设，代入，得，记，

则，而，

，

（定值）------------------------------------------------------------------------18分