Question

如图所示，四棱锥P—ABCD，PA⊥矩形ABCD所在的平面，M、N分别是AB、PC的中点．

(1)求证：MN∥平面PAD；

(2)若MN⊥平面PCD，求二面角P-CD-A的大小．

Answer 1

解：(方法一)

(1)过N作NE∥CD交PD于E，连接AE

∴N为PC中点  ∴ENCD

又∵ABCD  ∴ENAB

又∵M为AB的中点    ∴ENAM

∴四边形ENMA为平行四边形

∴MN∥平面PAD(6分)

(2)∵PA⊥平面ABCD    又∵底面为矩形

∴PD⊥CD  ∴∠PDA即为二面角P-CD-A的平面角

又∵AE∥MN，MN⊥平面PCD  ∴AE⊥平面PCD

∴AE⊥PD  又∵E为PD中点

∴△PAD为等腰直角三角形

∴∠PDA=45°

∴二面角P-CD-A的大小为45°

(方法二)如图建立空间直角坐标系

设AB=a，AD=b，PA=c

则A(0，0，0)，B(a，0，0)，C(a，b，0)，P(0，0，c)，

D(0，b，0)，M(，0，0)，N()

(1)∵(0,b,0)+(0，0，c)=,

∴∥平面PAD

(2)∵MN⊥平面PCD     PA⊥平面ABCD

∴是平面PCD的法向量，是平面ABCD的法向量

又由=(0，-b，c)得

·(0，-b,0)=0

∴b=c

∴二面角P-DC-A的大小为45°