Question

已知函数f（x）=x²-2lnx，h（x）=x²-x+a．
（Ⅰ）求函数f（x）的极值；
（Ⅱ）设函数k（x）=f（x）-h（x），若函数k（x）在[1，3]上恰有两个不同零点，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（I）先在定义域内求出f′（x）=0的值，再讨论满足f′（x）=0的点附近的导数的符号的变化情况，来确定极值；
（II）先求出函数k（x）的解析式，然后研究函数k（x）在[1，3]上的单调性，根据函数k（x）在[1，3]上恰有两个不同零点，建立不等关系

k(1)≥0 k(2)＜0 k(3)＞0

，最后解之即可．

解答：解：（Ⅰ）∵f′(x)=2x-

2

x

，令f′（x）=0，∵x＞0∴x=
所以f（x）的极小值为1，无极大值．（7分）
（Ⅱ）∵

x	（0，1）	1	（1，+∞）
f′（x）	_	0	+
f（x）	减	1	增

k(x)=f(x)-h(x)=-2lnx+x-a∴k′(x)=-

2

x

+1，
若k′（x）=0，则x=2
当x∈[1，2）时，f′（x）＜0；
当x∈（2，3]时，f′（x）＞0．
故k（x）在x∈[1，2）上递减，在x∈（2，3]上递增．（10分）
∴

k(1)≥0 k(2)＜0 k(3)≥0

∴

a≤1 a＞2-2ln2 a≤3-2ln3

∴2-2ln2＜a≤3-2ln3．
所以实数a的取值范围是：（2-2ln2，3-2ln3]（15分）

点评：本题主要考查了利用导数研究函数的极值，以及函数的零点等有关基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，属于中档题．