Question

在以O为原点的直角坐标系中，点A（4，-3）为△OAB的直角顶点，已知|AB|=2|OA|，且点B的纵坐标大于零。
（1）求向量的坐标；
（2）求圆x²-6x+y²+2y=0关于直线OB对称的圆的方程；
（3）是否存在实数a，使抛物线y=ax²-1上总有关于直线OB对称的两个点？若不存在，说明理由；若存在，求a的取值范围。

Answer 1

解：（1）设，则由
即
得或
因为
所以v-3>0，得v=8，
故={6，8}。
（2）由={10，5}，得B（10，5），
于是直线OB方程：
由条件可知圆的标准方程为：（x-3）²+y（y+1）²=10，
得圆心（3，-1），半径为
设圆心（3，-1）关于直线OB的对称点为（x ，y）
则，得
故所求圆的方程为（x-1）²+（y-3）²=10。
（3）设P（x₁，y₁），Q （x₂，y₂）为抛物线上关于直线OB对称两点，则
得
即x₁，x₂为方程的两个相异实根
于是由，得
故当时，抛物线y=ax²-1上总有关于直线OB对称的两点。