Question

已知函数f（x）=x²-x+alnx
（1）当x≥1时，f（x）≤x²恒成立，求a的取值范围；
（2）讨论f（x）在定义域上的单调性．

Answer 1

解：（1）由f（x）≤x²恒成立，得：alnx≤x在x≥1时恒成立
当x=1时a∈R
当x＞1时即，令，
x≥e时g'（x）≥0，g（x）在x＞e时为增函数，g（x）在x＜e时为减函数
∴g_min（x）=e∴a≤e
（2）解：f（x）=x²-x+alnx，f′（x）=2x-1+=，x＞0
（1）当△=1-8a≤0，a≥时，f′（x）≥0恒成立，
f（x）在（0，+∞）上为增函数．
（2）当a＜时
①当0＜a＜时，，
f（x）在上为减函数，
f（x）在上为增函数．
②当a=0时，f（x）在（0，1]上为减函数，f（x）在[1，+∞）上为增函数
③当a＜0时，，故f（x）在（0，]上为减函数，
f（x）在[，+∞）上为增函数．
分析：（1）先利用参数分离法将a分离出来，然后研究函数的最值，使参数a恒小于函数的最小值即可；
（2）先确定函数的定义域然后求导数fˊ（x），在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，主要进行分离讨论．
点评：本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，以及利用导数求闭区间上函数的最值，属于中档题．