Question

设(－)ⁿ的展开式的各项系数之和为M，二项式系数之和为N，M－N＝992.

(1)判断该展开式中有无x²项？若有，求出它的系数；若没有，说明理由；

(2)求此展开式中有理项的项数.

Answer 1

令x＝1得M＝4ⁿ，而N＝2ⁿ，由M－N＝992，

得4ⁿ－2ⁿ＝992.即(2ⁿ－32)·(2ⁿ＋31)＝0，

故2ⁿ＝32，n＝5.

(1)T_k＋1＝·()^5－k(－)^k＝(－1)^k··5^5－k··＝(－1)^k··

5^5－k·，

由题意，令＝2，解得k＝3，故含x²项存在.

它的系数为(－1)³··5^5－3＝－250.

(2)展开式中的有理项应满足，故k只能取3，

即展开式中只有一项有理项.