Question

13．已知知F₁，F₂是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且$∠{F_1}P{F_2}=\frac{π}{3}$，椭圆和双曲线的离心率分别为e₁、e₂，则$\frac{1}{{{e_1}^2}}+\frac{3}{{{e_2}^2}}$=4．

Answer 1

分析 如图所示，设椭圆与双曲线的标准方程分别为：$\frac{{x}^{2}}{{{a}_{1}}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{{b}_{1}}^{2}}$=1，$\frac{{x}^{2}}{{{a}_{2}}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{{b}_{2}}^{2}}$=1（a_i，b_i＞0，a₁＞b₁，i=1，2），a₁²-b₁²=a₂²+b₂²=c²，c＞0．设|PF₁|=m，|PF₂|=n．可得m+n=2a₁，n-m=2a₂，∠F₁PF₂=$\frac{π}{3}$，在△PF₁F₂中，由余弦定理可得：（2c）²=m²+n²-2mncos$\frac{π}{3}$，化简整理由离心率公式即可得出．

解答 解：如图所示，
设椭圆与双曲线的标准方程分别为：
$\frac{{x}^{2}}{{{a}_{1}}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{{b}_{1}}^{2}}$=1，$\frac{{x}^{2}}{{{a}_{2}}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{{b}_{2}}^{2}}$=1（a_i，b_i＞0，a₁＞b₁，i=1，2），
a₁²-b₁²=a₂²+b₂²=c²，c＞0．
设|PF₁|=m，|PF₂|=n．
则m+n=2a₁，n-m=2a₂，
解得m=a₁-a₂，n=a₁+a₂，
由∠F₁PF₂=$\frac{π}{3}$，在△PF₁F₂中，
由余弦定理可得：（2c）²=m²+n²-2mncos$\frac{π}{3}$，
∴4c²=（a₁-a₂）2+（a₁+a₂）2-（a₁-a₂）（a₁+a₂），
化为4c²=a₁²+3a₂²，
化为$\frac{1}{{{e_1}^2}}+\frac{3}{{{e_2}^2}}$=4．
故答案为：4．

点评 本题考查了椭圆与双曲线的定义标准方程及其性质、余弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．