Question

选修4-4：坐标系统与参数方程

在平面直角坐标系xOy中，曲线C₁的参数方程为（为参数），曲线C₂的参数方程为（，为参数），在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l：θ=与C₁，C₂各有一个交点．当=0时，这两个交点间的距离为2，当=时，这两个交点重合．

（I）分别说明C₁，C₂是什么曲线，并求出a与b的值；

（II）设当=时，l与C₁，C₂的交点分别为A₁，B₁，当=时，l与C₁，C₂的交点为A₂，B₂，求四边形A₁A₂B₂B₁的面积．

Answer 1

解：

   （I）C₁是圆，C₂是椭圆.

    当时，射线l与C₁，C₂交点的直角坐标分别为（1，0），（a，0），因为这两点间的距离为2，所以a=3.

    当时，射线l与C₁，C₂交点的直角坐标分别为（0，1），（0，b），因为这两点重合，所以b=1.

   （II）C₁，C₂的普通方程分别为

    当时，射线l与C₁交点A₁的横坐标为，与C₂交点B₁的横坐标为

   

当时，射线l与C₁，C₂的两个交点A₂，B₂分别与A₁，B₁关于x轴对称，因此，

四边形A₁A₂B₂B₁为梯形.

故四边形A₁A₂B₂B₁的面积为   …………10分