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    在数列{an}中，a1=
    1
    2
    ，an+1=
    3an
    an+3
    ．
    （1）计算a2，a3，a4，猜想数列{an}的通项公式并加以证明；
    （2）求证：
    a1
    3
    +
    a2
    3
    +…+
    an
    3
    ≥
    2n
    n+11
    对一切n∈N*成立    ．
    分析：（1）数列{an}中，由a1=
    1
    2
    ，an+1=
    3an
    an+3
    ，分别令n=1，2，3，依次求出a2，a3，a4，猜想数列{an}的通项公式并加以证明．
    （2）由an=
    3
    n+5
    ，知
    a1
    3
    +
    a2
    3
    +…+
    an
    3
    =
    1
    6
    +
    1
    7
    +…+
    1
    n+5
    ，故（
    a1
    3
    +
    a2
    3
    +…+
    an
    3
    ）[6+7+…+（n+5）]≥（1+1+…+1）2=n2，由此能够证明
    a1
    3
    +
    a2
    3
    +…+
    an
    3
    ≥
    2n
    n+11
    ．
    解答：解：（1）数列{an}中，∵a1=
    1
    2
    ，an+1=
    3an
    an+3
    ，
    ∴a2=
    3×
    1
    2
    1
    2
    +3
    =
    3
    7
    ，
    a3=
    3×
    3
    7
    3
    7
    +3
    =
    3
    8
    ，
    a4=
    3×
    3
    8
    3
    8
    +3
    =
    3
    9
    ．
    由此猜想：an=
    3
    n+5
    ．
    证明：由an+1=
    3an
    an+3
    ，知
    1
    an+1
    =
    1
    an
    +
    1
    3
    ，
    ∴{
    1
    an
    }是等差数列，
    ∴
    1
    an
    =
    1
    a1
    +(n-1)×
    1
    3
    =
    n+5
    3
    ，
    ∴an=
    3
    n+5
    ．
    （2）∵an=
    3
    n+5
    ，
    ∴
    a1
    3
    +
    a2
    3
    +…+
    an
    3
    =
    1
    6
    +
    1
    7
    +…+
    1
    n+5
    ，
    （
    a1
    3
    +
    a2
    3
    +…+
    an
    3
    ）[6+7+…+（n+5）]≥（1+1+…+1）2=n2，
    ∴
    a1
    3
    +
    a2
    3
    +…+
    an
    3
    ≥
    n2
    n(n+11)
    2
    =
    2n
    n+11
    ．
    点评：本题考查数列的通项公式的求法和证明，考查不等式的证明．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．
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    在数列{an}中，
    a
     
    1
    =1    ，an=
    1
    2
    an-1+1    （n≥2），则数列{an}的通项公式为an=
    2-21-n
    2-21-n
    ．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    在数列{an}中，a 1=
    1
    3
    ，并且对任意n∈N*，n≥2都有an•an-1=an-1-an成立，令bn=
    1
    an
    （n∈N*）．
    （Ⅰ）求数列{bn}的通项公式；
    （Ⅱ）设数列{
    an
    n
    }的前n项和为Tn，证明：
    1
    3
    ≤Tn＜
    3
    4
    ．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    在数列{an}中，a=
    12
    ，前n项和Sn=n2an，求an+1．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    在数列{an}中,a1=a,前n项和Sn构成公比为q的等比数列,________________.

    (先在横线上填上一个结论,然后再解答)

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    科目：高中数学 来源：2012-2013学年广东省汕尾市陆丰市碣石中学高三（上）第四次月考数学试卷（理科）（解析版） 题型：解答题

    在数列{an}中，a，并且对任意n∈N*，n≥2都有an•an-1=an-1-an成立，令bn=（n∈N*）．
    （Ⅰ）求数列{bn}的通项公式；
    （Ⅱ）设数列{}的前n项和为Tn，证明：．

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