Question

10．已知函数f（x）=e^x-kx，x∈R，k为常数，e是自然对数的底数．
（Ⅰ）当k=e时，证明f（x）≥0恒成立；
（Ⅱ）若k＞0，且对于任意x≥0，f（x）＞0恒成立，试确定实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）当k=e时，求出函数的f'（x）=e^x-e，利用导函数的符号判断单调性，求出函数的最小值，推出结果．
（Ⅱ）解法一：当x=0时原不等式恒成立，所以k∈R，当x＞0时，不等式化简为时，不等式化简为$k＜\frac{e^x}{x}$，$令g（x）=\frac{e^x}{x}，则g'（x）=\frac{{{e^x}（x-1）}}{x^2}$，利用单调性求解函数的最值，推出结果．
解法二：f'（x）=e^x-k=0可得x=lnk．通过①当k∈（0，1]时，②当k∈（1，+∞）时，分别求解函数的单调区间函数的最值，图象结果即可．

解答 （本题满分12分）
（Ⅰ）证明：当k=e时，f（x）=e^x-ex，∴f'（x）=e^x-e
由f'（x）＞0得x＞1，故f（x）的单调递增区间为（1，+∞）；f'（x）＜0得x＜1，故f（x）的单调递减区间为（-∞，1）；
所以函数有最小值为f（1）=e-e=0，所以f（x）≥0恒成立． …（5分）
（Ⅱ）解法一：当x=0时原不等式恒成立，所以k∈R…（6分）
当x＞0时，不等式化简为时，不等式化简为$k＜\frac{e^x}{x}$$令g（x）=\frac{e^x}{x}，则g'（x）=\frac{{{e^x}（x-1）}}{x^2}$；∴g（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增；
因为g（x）_min=g（1）=e，所以k＜e；…（11分）
又k＞0，所以0＜k＜e．…（12分）
解法二：f'（x）=e^x-k=0可得x=lnk．
①当k∈（0，1]时，f'（x）=e^x-k＞1-k≥0（x＞0）．
此时f（x）在区间[0，+∞）上单调递增．故f（x）≥f（0）=1＞0，符合题意．…（8分）
②当k∈（1，+∞）时，lnk＞0．当x变化时f'（x），f（x）的变化情况如下表：

x	（0，lnk）	lnk	（lnk，+∞）
f'（x）	-	0	+
f（x）	↘	极小值	↗

由此可得，在区间（0，+∞）上，f（x）≥f（lnk）=k-klnk．
依题意k-klnk＞0又k＞1所以1＜k＜e．  …（11分）
由①②得，实数k的取值范围是0＜k＜e．…（12分）

点评 本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力，分类讨论思想的应用．