Question

已知函数，其定义域为（），设。

   （Ⅰ）试确定的取值范围，使得函数在上为单调函数；

   （Ⅱ）试判断的大小并说明理由；

（Ⅲ）求证：对于任意的,总存在，满足,并确定这样的的个数。

Answer 1

（Ⅰ）

（Ⅱ）

（Ⅲ）证明见解析。

解析:

（Ⅰ）因为……1分

由；由，

所以在上递增，在上递减。……3分

要使在上为单调函数，则。……4分

（Ⅱ）。

因为在上递增,在上递减，

所以在处取得极小值，……6分

又，所以在上的最小值为 ，……8分

从而当时，，即。……9分

（Ⅲ）证明：因为，所以，即为,

令，

从而问题转化为证明方程=0在上有解，

并讨论解的个数                                ……10分

因为，

，所以

①当时，，

所以在上有解，且只有一解；……12分

②当时，，但由于，

所以在上有解，且有两解。……13分

③当时，，

所以在上有且只有一解；

当时，，

所以在上也有且只有一解。……14分

综上所述，对于任意的，总存在，满足，

且当时，有唯一的适合题意；

当时，有两个适合题意。              ……15分

（说明:第（Ⅱ）题也可以令，，

然后分情况证明在其值域内，

并讨论直线与函数的图象的交点个数即可得到相应的的个数）