Question

11．已知$\overrightarrow{m}$=（sinωx，-1），$\overrightarrow{n}$=（1，-$\sqrt{3}$cosωx）（其中x∈R，ω＞0），f（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$，且函数f（x）图象的某个最高点到其相邻的最低点之间的距离为5，
（1）求函数f（x）的单调递增区间；
（2）若f（$\frac{3θ}{π}$）=$\frac{6}{5}$（其中θ∈（-$\frac{5π}{6}$，$\frac{π}{6}$），则求f（$\frac{6θ}{π}$+1）的取值．

Answer 1

分析 （1）利用$f（x）=\overrightarrow m•\overrightarrow n$，结合两角和与差的三角函数化简函数的解析式，求解函数的周期，得到函数的解析式，利用子线盒的单调性求解单调增区间．
（2）利用条件求出$sin（{θ+\frac{π}{3}}）=\frac{3}{5}$，得到$cos（θ+\frac{π}{3}）$，通过二倍角公式求解即可．

解答 （本小题满分14分）
解：（1）∵$\overrightarrow m=（{sinωx，-1}）$，$\overrightarrow n=（{1，-\sqrt{3}cosωx}）$（其中x∈R，ω＞0），$f（x）=\overrightarrow m•\overrightarrow n$，
∴$f（x）=sinωx+\sqrt{3}cosωx=2sin（{ωx+\frac{π}{3}}）$，…（2分）
又∵函数f（x）图象的某个最高点到其相邻的最低点之间的距离为5，
∴$\sqrt{{4^2}+{{（{\frac{T}{2}}）}^2}}=5$，解之得：T=6，…（4分）
又$T=\frac{2π}{ω}$，则$ω=\frac{2π}{T}=\frac{π}{3}$，即$f（x）=2sin（{\frac{π}{3}x+\frac{π}{3}}）$，…（6分）
则$2kπ-\frac{π}{2}≤\frac{π}{3}x+\frac{π}{3}≤2kπ+\frac{π}{2}$，
即$6k-\frac{5}{2}≤x≤6k+\frac{1}{2}（{k∈Z}）$，
即所求函数f（x）的单调递增区间为$[{6k-\frac{5}{2}，6k+\frac{1}{2}}]（{k∈Z}）$…（8分）
（2）由（1）可知$f（x）=2sin（{\frac{π}{3}x+\frac{π}{3}}）$，
则$f（{\frac{3θ}{π}}）=2sin（{\frac{π}{3}•\frac{3θ}{π}+\frac{π}{3}}）=2sin（{θ+\frac{π}{3}}）=\frac{6}{5}$，
即$sin（{θ+\frac{π}{3}}）=\frac{3}{5}$…（10分）
∵$θ∈（{-\frac{5π}{6}，\frac{π}{6}}）$，∴$θ+\frac{π}{3}∈（{-\frac{π}{2}，\frac{π}{2}}）$，则$cos（{θ+\frac{π}{3}}）＞0$
即$cos（{θ+\frac{π}{3}}）=\sqrt{1-{{sin}^2}（{θ+\frac{π}{3}}）}=\frac{4}{5}$，…（12分）
也即$f（{\frac{6θ}{π}+1}）=2sin[{\frac{π}{3}（{\frac{6θ}{π}+1}）+\frac{π}{3}}]=2sin[{2（{θ+\frac{π}{3}}）}]$=$4sin（{θ+\frac{π}{3}}）cos（{θ+\frac{π}{3}}）=\frac{48}{25}$…（14分）

点评 本题考查三角函数的化简求值，斜率的数量积的应用，两角和与差的三角函数，考查计算能力．