Question

如图，已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面边长为1，点M在侧棱BB₁上。

（1）若BM=，求异面直线AM与BC所成的角；
（2）若AB₁⊥BC₁，求棱柱的高BB₁。

Answer 1

解：（1）过A在平面ABC内作AE//CB，且AE=CB，连接EM，
∠EAM为异面直线AM和BC所成的角或其补角，
在△AEM中，AM=EM=，AE=1，
cosEAM=，则∠EAM=。
（2）取BC中点为F，则AF⊥BC，
又平面ABC⊥平面BB₁C₁C， AF⊥平面BB₁C₁C，
∴AB₁在平面BB₁C₁C上的射影为B₁C，
∴由已知AB₁⊥BC₁及三垂线定理的逆定理，得CB₁⊥BC₁，
∴在平面BB₁C₁C内，由三角形相似，得。