Question

11．正项等比数列{a_n}中，存在两项a_m、a_n使得$\sqrt{{a_m}•{a_n}}=2{a_1}$，且a₆=a₅+2a₄，则$\frac{1}{m}+\frac{4}{n}$的最小值是（　　）

• A． $\frac{3}{2}$
• B． 2
• C． $\frac{7}{3}$
• D． $\frac{9}{4}$

Answer 1

分析 由a₆=a₅+2a₄，求出公比q，$\sqrt{{a_m}•{a_n}}=2{a_1}$，确定m，n的关系，然后利用基本不等式即可求出$\frac{1}{m}+\frac{4}{n}$的最小值．

解答 解：在等比数列中，∵a₆=a₅+2a₄，
∴a₄q²=a₄q+2a₄，
即q²-q-2=0，
解得q=2或q=-1（舍去），
∵$\sqrt{{a_m}•{a_n}}=2{a_1}$，
∴a_m•a_n=4${{a}_{1}}^{2}$=${{a}_{2}}^{2}$，
∴m+n=4，
∴$\frac{1}{m}+\frac{4}{n}$=$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{m}+\frac{4}{n}$）（m+n）=$\frac{1}{4}$+1+$\frac{n}{4m}$+$\frac{m}{n}$≥$\frac{5}{4}$+2$\sqrt{\frac{n}{4m}•\frac{m}{n}}$=$\frac{9}{4}$，当且仅当$\frac{n}{4m}=\frac{m}{n}$，并且m+n=4时取等号．
故选：D．

点评 本题主要考查等比数列的运算性质以及基本不等式的应用，涉及的知识点较多，要求熟练掌握基本不等式成立的条件．