Question

9．在如图所示的四边形ABCD中，已知AB⊥AD，∠ABC=120°，∠ACD=60°，AD=2$\sqrt{3}$，设∠ACB=θ，点C到AD的距离为h．
（1）当θ=15°，求h的值；
（2）求AB+BC的最大值．
（3）若△ABD的外接圆与△CBD的外接圆重合，求S_△ABC．

Answer 1

分析 （1）在△ACD中使用正弦定理求出CD，则h=CDsin∠ADC；
（2）在△ACD中使用正弦定理求出AC，在△ABC中使用正弦定理用θ表示出AB，BC，将问题转化为三角函数的最值问题求解；
（3）△ABD的外接圆与△CBD的外接圆重合可知四点共圆，从而求出∠ACB和∠BAC，使用正弦定理解出各边，带入面积公式．

解答 解：（1）∠BAC=180°-120°-15°=45°，∠CAD=90°-∠BAC=45°，∴∠ADC=75°．
在△ACD中，由正弦定理得：$\frac{AD}{sin60°}=\frac{CD}{sin45°}$，∴CD=$\frac{ADsin45°}{sin60°}$=2$\sqrt{2}$．
∴h=CD•sin∠ADC=2$\sqrt{2}$•sin75°=$\sqrt{3}$+1．
（2）∠BAC=60°-θ，∴∠CAD=30°+θ，∠ADC=90°-θ．
在△ACD中，∵$\frac{AD}{sin∠ACD}=\frac{AC}{sin∠ADC}$，∴$\frac{2\sqrt{3}}{sin60°}=\frac{AC}{sin（90°-θ）}$，解得AC=4cosθ．
在△ABC中，∵$\frac{AB}{sin∠ACB}=\frac{BC}{sin∠BAC}=\frac{AC}{sin∠ABC}$，∴$\frac{AB}{sinθ}=\frac{BC}{sin（60°-θ）}=\frac{4cosθ}{sin120°}$．
解得AB=$\frac{8sinθcosθ}{\sqrt{3}}$，BC=4cos²θ-$\frac{4sinθcosθ}{\sqrt{3}}$，
∴AB+BC=4cos²θ+$\frac{4sinθcosθ}{\sqrt{3}}$=2cos2θ+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$sin2θ+2=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$sin（2θ+φ）+2．
∴当sin（2θ+φ）=1时，AB+BC取得最大值$\frac{4\sqrt{3}}{3}$+2．
（3）∵△ABD的外接圆与△CBD的外接圆重合，∴A，B，C，D四点共圆．
∴∠BCD=90°，∠ACB=∠BAC=∠D=30°，
在△ABC中，∵$\frac{AC}{sin120°}=\frac{AB}{sin30°}=\frac{BC}{sin30°}$，∴AB=BC=2，∴S_△ABC=$\frac{1}{2}AB•BC•sin120°$=$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了正弦定理在解三角形中的应用，属于中档题．