Question

已知函数f（x）=lnx-ax+（a∈R）．
（Ⅰ）当a时，讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）当a=0时，对于任意的n∈N₊，且n≥2，证明：不等式＞-．

Answer 1

（I）解：函数的定义域为（0，+∞），求导函数可得
当a=0时，，令可得x＞1，令，∵x＞0，∴0＜x＜1，
∴函数f（x）在（1，+∞）上是增函数，在（0，1）上是减函数；
当a＜0时，令得-ax²+x-1+a＞0，解得x＞1或x＜（舍去），此时函数f（x）在（1，+∞_上增函数，在（0，1）上是减函数；
当0＜a时，令得-ax²+x-1+a＞0，解得
此时函数f（x）在（1，）上是增函数，在（0，1）和（，+∞）上是减函数 …（6分）
（II）证明：由（I）知：a=0时，f（x）=lnx+-1在（1，+∞）上是增函数，
∴x＞1时，f（x）＞f（1）=0
设g（x）=f（x）-（x²-1）=lnx+-x²（x＞1），则
∵2x²-2x+1＞0恒成立，∴x＞1时，g′（x）＜0，∴g（x）在（1，+∞）上单调递减
∴x＞1时，g（x）＜g（1）=0，即f（x）＜x²-1
∵f（x）＞0，∴=（）
∴＞（1-++…+）==
∴不等式得证 …（12分）
分析：（I）确定函数的定义域，求导函数，分类讨论，利用导数的正负，可确定函数的单调性；
（II）先证明x＞1时，f（x）＞f（1）=0，再设g（x）=f（x）-（x²-1）=lnx+-x²（x＞1），求导函数，确定g（x）在（1，+∞）上单调递减，从而可得=（），再叠加，即可得到结论．
点评：本题考查导数知识，考查函数的单调性，考查不等式的证明，考查裂项法求和，属于中档题．