Question

已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2，0)，实轴长为2．

(1)求双曲线C的方程；

(2)若直线l：y＝kx＋与双曲线C恒有两个不同的交点A和B，求k的取值范围；

(3)在(2)的条件下，若(其中O为原点)，求k的取值范围．

Answer 1

答案：
解析：

(1)设双曲线方程为(a＞0，b＞0)， 　　由已知得a＝，c＝2， 　　再由a2＋b2＝c2，∴b2＝1． 　　∴双曲线方程为; 　　(2)将y＝kx＋代入． 　　得(1－3k2)x2－6kx－9＝0． 　　由题意知即k2≠，且k2＝1．　　　① 　　∴k的取值范围为(－1， ∪(－∪(; 　　(3)设A(xA，yA)，B(xB，yB)． 　　由(2)得xA＋xB＝xA·xB＝ 　　由得xA·xB＋yA·yB＞2， 　　　而xA·xB＋yA·yB＝xA·xB＋(kxA＋(kxB＋ 　　＝(k2＋1)xA·xB＋k(xA＋xB)＋2 　　＝(k2＋1)· 　　于是 　　∴　　　　　② 　　由①②得 　　故k的取值范围为(－1，－