Question

（本小题满分12分）
已知数列中，，，且．
（1）设，求是的通项公式；
（2）求数列的通项公式；
（3）若是与的等差中项，求的值，并证明：对任意的，是与的等差中项．

Answer 1

（1）
（2）
（3）证明三项构成等差中项的性质，只要利用等差中项的性质分析可得。

试题分析：（1）证明：由题，得，
,．又，，   
所以是首项为1，公比为的等比数列．                              
                                                   
（2）解：由（Ⅰ），，，……,．
将以上各式相加，得．                     
所以当时，                             
上式对显然成立．                                                   
（3）解：由（Ⅱ），当时，显然不是与的等差中项，故． 
由可得，由得  ，     ①       
．于是．                                 
另一方面，
，．
由①可得．
所以对任意的，是与的等差中项． 
点评：解决的关键是对于数列的公式的熟练运用，等比数列和累加法思想的运用，属于中档题。易错点是对于公比的讨论容易忽略。