Question

已知0＜α＜

π

2

，π＜β＜

3π

2

，cos（

α

2

+β）=-

1

3

，sin（α+

β

2

）=

3

5

，求sin

α-β

2

．

Answer 1

分析：根据题意求出

α

2

与

β

2

的范围，进而确定出

α

2

+β与α+

β

2

的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出sin（

α

2

+β）与cos（α+

β

2

）的值，所求式子变形后，利用两角和与差的正弦函数公式化简，将各自的值代入计算即可求出值．

解答：解：∵0＜

α

2

＜

π

4

，

π

2

＜

β

2

＜

3π

4

，
∴π＜

α

2

+β＜

7π

4

，

π

2

＜α+

β

2

＜

5π

4

，
∵cos（

α

2

+β）=-

1

3

，sin（α+

β

2

）=

3

5

，
∴sin（

α

2

+β）=-

1-cos2( α 2 +β)

=-

2 2

3

，cos（α+

β

2

）=-

1-sin2(α+ β 2 )

=-

4

5

，
∴sin

α-β

2

=sin[（α+

β

2

）-（

α

2

+β）]
=sin（α+

β

2

）cos（

α

2

+β）-cos（α+

β

2

）sin（

α

2

+β）
=

3

5

×（-

1

3

）-（-

4

5

）×（-

2 2

3

）
=-

3+8 2

15

．

点评：此题考查了两角和与差的正弦函数公式，同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式是解本题的关键．