Question

如图，正三棱柱ABC—A₁B₁C₁的所有棱长都为2，D为CC₁中点.

（1）求证：AB₁⊥平面A₁BD；

（2）求二面角A-A₁D-B的大小.

Answer 1

解:(1)证明:取BC中点O，连结AO.∵△ABC为正三角形，∴AO⊥BC.

∵正三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，平面ABC⊥平面BCC₁B₁，∴AO⊥平面BCC₁B₁.

连结B₁O，在正方形BB₁C₁C中，O、D分别为BC、CC₁的中点，∴B₁O⊥BD.∴AB₁⊥BD.

在正方形ABB₁A₁中，AB₁⊥A₁B，∴AB₁⊥平面A₁BD.

(2)设AB₁与A₁B交于点G，在平面A₁BD中，

作GF⊥A₁D于F，连结AF，由(1)得AB₁⊥平面A₁BD.

∴AF⊥A₁D.∴∠AFG为二面角A-A₁D-B的平面角.

在△AA₁D中，由等面积法可求得AF=，

又∵AG=AB₁=，∴sin∠AFG=.

∴二面角AA₁DB的大小为arcsin.