Question

已知函数f(x)=

1

2

x2+

3

2

x，数列{a_n}的前n项和为S_n，点（n，S_n），（n∈N₊）都在函数y=f（x）的图象上，
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）令bn=

an

2n-1

，求{b_n}的前n项和T_n；
（3）令cn=

an

an+1

+

an+1

an

，证明：2n＜c1+c2+…+cn＜2n+

1

2

，n∈N₊．

Answer 1

分析：（1）利用点（n，S_n），（n∈N₊）都在函数y=f（x）的图象上，可得S_n=

1

2

n2+

3

2

n，再写一式，两式相减，即可求{a_n}的通项公式；
（2）求出数列{b_n}的通项，利用错位相减法，即可求得{b_n}的前n项和T_n；
（3）确定数列的通项，利用裂项法求和，即可证明结论．

解答：（1）解：∵点（n，S_n），（n∈N₊）都在函数y=f（x）的图象上，
∴S_n=

1

2

n2+

3

2

n
∴n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=

1

2

n2+

3

2

n-[

1

2

(n-1)2+

3

2

(n-1)]=n+1
n=1时，也满足上式
∴a_n=n+1；
（2）解：bn=

an

2n-1

=

n+1

2n-1

∴T_n=b₁+b₂+…+b_n=2•

1

20

+3•

1

2

+…+

n+1

2n-1

∴

1

2

T_n=2•

1

2

+…+

n

2n-1

+

n+1

2n

两式相减可得

1

2

T_n=2•

1

20

+

1

2

+…+

1

2n-1

-

n+1

2n

=3-

1

2n-1

-

n+1

2n

；
（3）证明：cn=

an

an+1

+

an+1

an

=

n+1

n+2

+

n+2

n+1

=2+（

1

n+1

-

1

n+2

）
∴c₁+c₂+…+c_n=2n+（

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

n+1

-

1

n+2

）=2n+

1

2

-

1

n+2

∴2n＜c1+c2+…+cn＜2n+

1

2

点评：本题考查数列的通项与求和，考查不等式的证明，确定数列的通项，正确运用求和公式是关键．