Question

4．已知数列{a_n}的前n项和为S_n=3n²+8n，数列{b_n}是等差数列，且a_n=b_n+b_n+1
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式a_n，b_n
（2）设c_n=$\frac{{{{（{a_n}+1）}^{n+1}}}}{{{{（{b_n}+2）}^n}}}$，且λ＞$\frac{{{c_{n+1}}}}{c_n}$对任意的n∈N^*恒成立，求实数λ的取值范围．

Answer 1

分析 （1）数列{a_n}的前n项和为S_n=3n²+8n，当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，当n=1时，a₁=S₁．即可得出．数列{b_n}是等差数列，且a_n=b_n+b_n+1，可得11=b₁+b₂，17=b₂+b₃，解得d，b₁．
（2）c_n=$\frac{{{{（{a_n}+1）}^{n+1}}}}{{{{（{b_n}+2）}^n}}}$=3×2ⁿ⁺¹（n+1），可得λ＞$\frac{{{c_{n+1}}}}{c_n}$=2$（1+\frac{1}{n+1}）$，利用数列的单调性即可得出．

解答 解：（1）数列{a_n}的前n项和为S_n=3n²+8n，
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=3n²+8n-[3（n-1）²+8（n-1）]=6n+5，
当n=1时，a₁=S₁=11也成立．∴a_n=6n+5．
∵数列{b_n}是等差数列，且a_n=b_n+b_n+1，
∴11=b₁+b₂，17=b₂+b₃，
相减可得：2d=6，解得公差d=3，代入11=b₁+b₂，可得2b₁+3=11，解得b₁=4．
∴b_nz=4+3（n-1）=3n+1．
（2）c_n=$\frac{{{{（{a_n}+1）}^{n+1}}}}{{{{（{b_n}+2）}^n}}}$=$\frac{（6n+6）^{n+1}}{（3n+3）^{n}}$=3×2ⁿ⁺¹（n+1），
∴λ＞$\frac{{{c_{n+1}}}}{c_n}$=2$（1+\frac{1}{n+1}）$，
又λ＞$\frac{{{c_{n+1}}}}{c_n}$对任意的n∈N^*恒成立，
∴λ＞$[2（1+\frac{1}{n+1}）]_{max}$，
由{1+$\frac{1}{n+1}$}单调递减，∴$[2（1+\frac{1}{n+1}）]_{max}$=3，
∴λ＞3．

点评 本题考查了等差数列的通项公式、数列递推关系、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．