Question

如图，在底面是菱形的四棱锥P－ABCD中，∠ABC＝60°，PA＝AC＝a，PB＝PD＝，点E在PD上，且PE∶ED＝2∶1．

(Ⅰ)证明PA⊥平面ABCD；

(Ⅱ)求以AC为棱，EAC与DAC为面的二面角的大小；

(Ⅲ)在棱PC上是否存在一点F，使BF∥平面AEC？证明你的结论．

Answer 1

答案：
解析：

(Ⅰ)证明因为底面ABCD是菱形，∠ABC＝60°， 　　所以AB＝AD＝AC＝a，在△PAB中， 　　由PA2＋AB2＝2a2＝PB2知PA⊥AB． 　　同理，PA⊥AD，所以PA⊥平面ABCD． 　　(Ⅱ)解：作EG∥PA交AD于G，由PA⊥平面ABCD． 　　知EG⊥平面ABCD．作GH⊥AC于H，连结EH， 　　则EH⊥AC，∠EHG即为二面角的平面角． 　　又PE∶ED＝2∶1，所以 　　从而 　　(Ⅲ)解法一　以A为坐标原点，直线AD、AP分别为y轴、z轴，过A点垂直平面PAD的直线为x轴，建立空间直角坐标系如图．由题设条件，相关各点的坐标分别为 　　 　　 　　所以 　　 　　 　　设点F是棱PC上的点，其中则 　　 　　 　　令得 　　 　　解得 　　即时， 　　亦即，F是PC的中点时，、、共面． 　　又BF平面AEC，所以当F是棱PC的中点时， BF∥平面AEC． 　　解法二　当F是棱PC的中点时，BF∥平面AEC，证明如下， 　　证法一　取PE的中点M，连结FM，则FM//CE．① 　　由知E是MD的中点． 　　连结BM、BD，设BDAC＝O，则O为BD的中点． 　　所以BM∥OE．② 　　由①、②知，平面BFM//平面AEC． 　　又BF平面BFM，所以BF∥平面AEC． 　　证法二 　　因为 　　 　　所以、、共面． 　　又BF平面ABC，从而BF∥平面AEC．