Question

已知函数f（x）=ax²-（4a+2）x+4lnx，其中a≥0．
（1）若a=0，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）讨论函数f（x）的单调性．

Answer 1

分析：（1）先求导函数f′（x），把x=1代入f′（x）中算出f′（1）即可得到切线的斜率，从而求出切线；
（2）确定函数的定义域，求导函数，利用导数的正负，分类讨论，即可求得函数f（x）的单调性．

解答：解（1）当a=0时，f（x）=-2x+4lnx，
从而f′（x）=-2+

4

x

，其中x＞0．                        
所以f′（1）=2．
又切点为（1，-2），
所以所求切线方程为y+2=2（x-1），即2x-y-4=0．    
（2）因为f（x）=ax²-（4a+2）x+4lnx，
所以f′（x）=2ax-（4a+2）+

4

x

=

2ax2-(4a+2)x+4

x

=

2(ax-1)(x-2)

x

，其中x＞0．
①当a=0时，f′（x）=-

2(x-2)

x

，x＞0．
由f′（x）＞0得，0＜x＜2，所以函数f（x）的单调增区间是（0，2）；单调减区间是（2，+∞）；
②当0＜a＜

1

2

时，因为

1

a

＞2，由f′（x）＞0，得x＜2或x＞

1

a

．
所以函数f（x）的单调增区间是（0，2）和（

1

a

，+∞）；单调减区间为（2，

1

a

）；
③当a=

1

2

时，f′（x）=

(x-2)2

x

≥0，且仅在x=2时，f′（x）=0，
所以函数f（x）的单调增区间是（0，+∞）；
④当a＞

1

2

时，因0＜

1

a

＜2，由f′（x）＞0，得0＜x＜

1

a

或x＞2，
所以函数f（x）的单调增区间是（0，

1

a

）和（2，+∞）；单调减区间为（

1

a

，2）．
综上，
当a=0时，f（x）的单调增区间是（0，2），单调减区间是（2，+∞）；
当0＜a＜

1

2

时，f（x）的单调增区间是（0，2）和（

1

a

，+∞），减区间为（2，

1

a

）；
当a=

1

2

时，f（x）的单调增区间是（0，+∞）；
当a＞

1

2

时，f（x）的单调增区间是（0，

1

a

）和（2，+∞），减区间为（

1

a

，2）．

点评：本题考查导数的几何意义，考查函数的单调区间，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．