Question

已知命题p：?x∈[1，3]，(

1

2

)x-1+m-1＜0，命题q：?x∈（0，+∞），mx²+x-4=0．若“p且q”为真命题，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：根据不等式恒成立，利用职权分离参数法把命题p转化为知1-m＞(

1

2

)x-1恒成立；根据一元二次方程根的情况把命题q转化为：?x∈（0，+∞），m=

4-x

x2

，根据“p且q”为真，判断出p真q真，从而求得实数m的取值范围．

解答：解：由(

1

2

)x-1+m-1＜0，知1-m＞(

1

2

)x-1，
∵x∈[1，3]，∴(

1

2

)x-1∈[

1

4

，1]，
∴1-m＞1，即m＜0．
又由mx²+x-4=0，x＞0，得m=

4-x

x2

，
∵

4-x

x2

=4(

1

x

)2-

1

x

=4(

1

x

-

1

8

)2-

1

16

∈[-

1

16

，+∞)，
由题m∈[-

1

16

，+∞)
由“p且q”为真命题，知p和q都是真命题，
所以，符合题意的m的取值范围是[-

1

16

，0)．

点评：本题以复合命题的真假为载体考查二次方程实根存在问题和不等式恒成立问题．二次方程实根存在问题和不等式恒成立问题都要结合转化思想进行处理，体现函数、方程、不等式的联系．属中档题．