Question

（07年湖南卷理）（12分）

如图2，分别是矩形的边的中点，是上的一点，将，分别沿翻折成，，并连结，使得平面

平面，，且．连结，如图3．

　　　　图2                            

图3

（I）证明：平面平面；

（II）当，，时，求直线和平面所成的角．

Answer 1

解析：解法一：（Ｉ）因为平面平面，平面平面，，平面，所以平面，又平面，

所以平面平面．

（II）过点作于点，连结．

由（I）的结论可知，平面，

所以是和平面所成的角．

因为平面平面，平面平面，，

平面，所以平面，故．

因为，，所以可在上取一点，使，

又因为，所以四边形是矩形．

由题设，，，则．所以，

，，．

因为平面，，所以平面，从而．

故，．

又，由得．

故．

即直线与平面所成的角是．

解法二：（I）因为平面平面，平面平面，，

平面，所以平面，从而．又，

所以平面．因为平面，所以平面平面．

（II）由（I）可知，平面．故可以为原点，分别以直线

为轴、轴、轴建立空间直角坐标系（如图），

由题设，，，则，

，，相关各点的坐标分别是，

，，．

所以，．

设是平面的一个法向量，

由得故可取．

过点作平面于点，因为，所以，

于是点在轴上．

因为，所以，．

设（），由，解得，

所以．

设和平面所成的角是，则

．

故直线与平面所成的角是．