Question

A、B是抛物线y²=2px(p＞0)上的两点，满足·=0（O是原点）.求证：

（1）A、B两点的横坐标之积、纵坐标之积为定值；

（2）直线AB过定点.

Answer 1

证明:设A（x₁,y₁）,B(x₂,y₂),

(1)∵·=0，

∴OA⊥OB.

∴=.

∴x₁x₂=-y₁y₂                                                                                                                                                   ①

由

∴(y₁y₂)²=4p²(x₁x₂)                                                         ④

由①④得y₁y₂=-4p²且x₁x₂=4p².

∴结论成立.

（2）在（1）中②-③,得（y₁-y₂）(y₁+y₂)=2p(x₁-x₂).

∴.

∴直线AB方程为y-y₁=(x-x₁).

∴y=x+y₁-=+=(x-2p).

∴直线AB过定点（2p,0）.