Question

椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的两个焦点分别为F₁（-c，0）和F₂（c，0）（c＞0），过点E(

a2

c

，0)的直线与椭圆相交于A，B两点，且

F1A

=2

F2B

．
（1）求椭圆的离心率；
（2）求直线AB的斜率．

Answer 1

分析：（1）先确定F₂是F₁E的中点，进而可得几何量之间的关系，即可求得椭圆的离心率；
（2）设直线的方程，代入椭圆方程，利用B为线段AE的中点，结合韦达定理，可求直线AB的斜率．

解答：解：（1）由

F1A

=2

F2B

得F₁A∥F₂B且|F₁A|=2|F₂B|，
∴F₂是F₁E的中点，从而

a2

c

-c=2c，整理，得a²=3c²，
∴离心率e=

c

a

=

3

3

（2 ）由（1）得b²=a²-c²=2c²，所以椭圆的方程可写为2x²+3y²=6c²
设直线AB的方程为y=k(x-

a2

c

)，即y=k（x-3c）
由已知设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则它们的坐标满足方程组

y=k(x-3c) 2x2+3y2=6c2

消去y整理，得（2+3k²）x²-18k²cx+27k²c²-6c²=0．
依题意，△=48c²（1-3k²）＞0，∴-

3

3

＜k＜

3

3

而x1+x2=

18k2c

2+3k2

①x1x2=

27k2c2-6cc

2+3k2

②
由题设知，点B为线段AE的中点，所以x₁+3c=2x₂③
联立①③解得x1=

9k2c-2c

2+3k2

，x2=

9k2c+2c

2+3k2

．将x₁，x₂代入②中，解得k=±

2

3

．

点评：本题考查椭圆的几何性质，考查直线的向量，考查向量知识，考查直线与椭圆的位置关系，正确运用韦达定理是关键．