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(本小题满分14分)

已知函数对于任意(),都有式子成立(其中为常数).

(Ⅰ)求函数的解析式;

(Ⅱ)利用函数构造一个数列,方法如下:

对于给定的定义域中的,令,,…,,…

在上述构造过程中,如果(=1,2,3,…)在定义域中,那么构造数列的过程继续下去;如果不在定义域中,那么构造数列的过程就停止.

(ⅰ)如果可以用上述方法构造出一个常数列,求的取值范围;

(ⅱ)是否存在一个实数,使得取定义域中的任一值作为,都可用上述方法构造出一个无穷数列?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由;

(ⅲ)当时,若,求数列的通项公式.


解析:

解:(Ⅰ)令(),则,而,

故=,

        ∴ =().         ………………………………3分

(Ⅱ)(ⅰ)根据题意,只需当时,方程有解,    ………………4分

亦即方程  有不等于的解.

        将代入方程左边,左边为1,与右边不相等.故方程不可能有解.

………………5分

        由 △=,得 或,

即实数a的取值范围是.       …………………………7分

(ⅱ)假设存在一个实数,使得取定义域中的任一值作为x1,都可以用上述方法构造出一个无穷数列,那么根据题意可知,=在R中无解,

……………8分

亦即当时,方程无实数解.

由于不是方程的解,

所以对于任意x∈R,方程无实数解,

因此解得.

∴ 即为所求的值.         ……………………………………11分

    (ⅲ)当时,,所以,.

两边取倒数,得,即.

所以数列{}是首项为,公差的等差数列.

故,所以,,

即数列的通项公式为. ……………………………………14分

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3
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π
4
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π
4
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.
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2
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