Question

椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)上存在一点M，它到左焦点的距离是它到右准线距离的2倍，则椭圆离心率的最小值为

 

．

Answer 1

分析：设它到左焦点的距离是|MF₁|，则到右准线距离d，它到右焦点的距离是|MF₂|，由椭圆第二定义，求得

c

a

即e的范围，进而求得e的最小值．

解答：解：设P到直线l的距离为d，
根据椭圆的第二定义得

|MF2|

d

=e=

c

a

，|MF₁|=2d，且|MF₁|+|MF₂|=2a，
则|MF₁|=2a-|PF₂|=2a-

2ac

2a+c

，而|MF₁|∈（a-c，a+c），
所以得到

2a- 2ac 2a+c ≥a-c① 2a- 2ac 2a+c ≤a+c②

，由①得：(

c

a

)2+

c

a

+2≥0，

c

a

为任意实数；
由②得：(

c

a

)2+3

c

a

-2≥0，解得

c

a

≥

-3+ 17

2

或

c

a

≤

-3- 17

2

（舍去），
所以不等式的解集为：

c

a

≥

-3+ 17

2

，即离心率e≥

-3+ 17

2

，又e＜1，
所以椭圆离心率的取值范围是[

-3+ 17

2

，1）．
故答案为：

17 -3

2

．

点评：本题主要考查了椭圆的基本性质．属基础题．