Question

比较2ⁿ与n²的大小(n∈N^*).

Answer 1

剖析:比较两数(或式)大小的常用方法本题不适用，故考虑用归纳法推测大小关系，再用数学归纳法证明.

解:当n=1时，2¹＞1²,

    当n=2时，2²=2²,

    当n=3时，2³＜3²,

    当n=4时，2⁴=4²,

    当n=5时，2⁵＞5²,

    猜想:当n≥5时，2ⁿ＞n².

    下面用数学归纳法证明:

    (1)当n=5时，2⁵＞5²成立.

    (2)假设n=k(k∈N^*,k≥5)时,2^k＞k²,

    那么2^k+1=2·2^k=2^k+2^k＞k²+(1+1)^k＞k²+C⁰_k+C¹_k+C^k-1_k=k²+2k+1=(k+1)².

    ∴当n=k+1时，2ⁿ＞n².

    由(1)(2)可知，对n≥5的一切自然数2ⁿ＞n²都成立.

    综上，得当n=1或n≥5时，2ⁿ＞n²；当n=2、4时，2ⁿ=n²；当n=3时，2ⁿ＜n².

讲评:用数学归纳法证不等式时，要恰当地凑出目标和凑出归纳假设，凑目标时可适当放缩.