Question

如图：直三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，

(1)求侧棱BB₁的长；

(2)求二面角A₁－B₁C－B的大小；

(3)求直线A₁B与平面A₁B₁C所成角的大小．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)过C作CHAB于H，连结B1H，　　　1分 　　由ACH∽BCH得， 　　又AB＝4∴AH＝1，BH＝3，∵CH面ABB1A1， 　　A1BB1C，∴A1BB1H，　　　3分 　　∴A1B1B∽B1BH则有 　　解得BB1＝2　　　4分 　　(另解：连结B1C，证A1C1面BC　C1B1， 　　由B1CA1B得B1CBC1，从而得BB1＝2同样给分) 　　(2)有(1)知A1C1面CC1B1，过C1作C1OB1C于O， 　　连结A1O，则二面角A1－B1C－C1的平面角为A1OC1　　　6分 　　tanA1OC1＝设二面角A1－B1C－B的平面角为，　　7分 　　则＝A1OC1＝arctan　　　　　　　　　　8分 　　(3)设点B到面A1B1C的距离为d 　　　　　10分 　　＝35设A1B与面A1B1C所成的角为， 　　则　　　　12分 　　另解： 　　(1)建立如图空间直角坐标系，设AA1＝a 　　则A(2，0，0)，B(0，2，0)，A1(2，0，a)，B1(0，2，a)， 　　C1(0，0，a)3分 　　　　　　4分 　　(2)显然面B1BC的法向量＝(1，0，0)，　　　5分 　　设面A1B1C的法向量＝(x，y，z) 　　　　　6分 　　　　　7分 　　设二面角A1－B1C－B的平面角为，则　　　8分 　　(3)　　　10分 　　设A1B与面A1B1C所成的角为，则 　　　　　12分