Question

（本小题满分12分）

       如图，在底面是正方形的四棱锥P—ABCD中，PA⊥面ABCD，BD交AC于点E，F是PC中点，G为AC上一点．

   （1）求证：BD⊥FG；

   （2）确定点G在线段AC上的位置，使FG//平面PBD，

并说明理由．

   （3）当二面角B—PC—D的大小为时，求PC与

底面ABCD所成角的正切值．

     

Answer 1

方法一：（I）面ABCD，四边形ABCD是正方形，

       其对角线BD，AC交于点E，∴PA⊥BD，AC⊥BD     

       ∴BD⊥平面APC，平面PAC，

∴BD⊥FG                   …………3分

   （II）当G为EC中点，即时，FG//平面PBD， …………4分

       理由如下：

       连接PE，由F为PC中点，G为EC中点，知FG//PE，

       而FG平面PBD，PB平面PBD，      故FG//平面PBD．      …………7分

   （III）作BH⊥PC于H，连结DH，

       ∵PA⊥面ABCD，四边形ABCD是正方形，

       ∴PB=PD，

       又∵BC=DC，PC=PC，

       ∴△PCB≌△PCD，

       ∴DH⊥PC，且DH=BH，

       ∴∠BHD主是二面角B—PC—D的平面角，   …………9分

       即

       ∵PA⊥面ABCD，

       ∴∠PCA就是PC与底面ABCD所成的角       ………10分

       连结EH，则

      

      

      

       ∴PC与底面ABCD所成角的正切值是     …………12分

    方法二解：以A为原点，AB，AD，PA所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系如图所示，

       设正方形ABCD的边长为1，则A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0）

    D（0，1，0），P（0，0，a）（a>0）,

   （I）

   

            …………3分

   （II）要使FG//平面PBD，只需FG//EP，

       而，

       由可得，解得

                …………6分

      

       故当时，FG//平面PBD …………7分

       设平面PBC的一个法向量为

       则，而

       ，取z=1，得，

       同理可得平面PBC的一个法向量

       设所成的角为0，

       则

       即

                       …………10分

       ∵PA⊥面ABCD，∴∠PCA就是PC与底面ABCD所成的角，

                  

∴PC与底面ABCD所成角的正切值是     …………12分