Question

（本小题满分12分）已知的两顶点坐标，，圆是的内切圆，在边，，上的切点分别为，（从圆外一点到圆的两条切线段长相等），动点的轨迹为曲线.

（1）求曲线的方程；

（2）设直线与曲线的另一交点为，当点在以线段为直径的圆上时，求直线的方程.

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）直线的方程或.

【解析】

试题分析：本题主要考查椭圆的第一定义、椭圆的标准方程、椭圆的几何意义、直线的方程、向量垂直的充要条件等基础知识，考查用代数法研究圆锥曲线的性质以及数形结合的数学思想方法，考查运算求解能力、综合分析和解决问题的能力.第一问，利用圆外一点到圆的两条切线段长相等，转化边，得到，所以判断出曲线是以为焦点，长轴长为的椭圆（挖去与轴的交点），利用已知求出椭圆标准方程中的基本量；第二问，根据已知设出直线的方程，直线与曲线联立，消参得关于的方程，求出方程的2个根，并且写出两根之和两根之积，因为点在以为直径的圆上，所以只需使，解出参数从而得到直线的方程.

试题解析：⑴解：由题知

所以曲线是以为焦点，长轴长为的椭圆（挖去与轴的交点），

设曲线：，

则，

所以曲线：为所求.     4分

⑵解：注意到直线的斜率不为，且过定点，

设，

由

消得，所以，

所以         8分

因为,所以

注意到点在以为直径的圆上,所以,即,   11分

所以直线的方程或为所求.    12分

考点：1.椭圆的第一定义；2.椭圆的标准方程；3.直线与椭圆的位置关系；4.韦达定理；5.向量垂直的充要条件.