Question

正三角形的一个顶点位于坐标原点,另外两个顶点在抛物线y²=2px(p＞0)上,求这个正三角形的边长.

Answer 1

解:如题中图,设正三角形OAB的顶点A、B在抛物线上,且它们的坐标分别为(x₁,y₁)和(x₂,y₂),则y₁²=2px₁,y₂²=2px₂,

又|OA|=|OB|,所以x₁²+y₁²=x₂²+y₂²,

即x₁²-x₂²+2px₁-2px₂=0,∴(x₁-x₂)(x₁+x₂+2p)=0.

∵x₁＞0,x₂＞0,2p＞0,∴x₁=x₂.

由此可得|y₁|=|y₂|,即线段AB关于x轴对称.

由于AB垂直于x轴,且∠AOx=30°,

∴=tan30°=,而y₁²=2px₁,

∴y₁=2p.

于是|AB|=2y₁=4p.