Question

如图，正三棱柱ABC－A₁B₁C₁的所有棱长都为2，D为CC₁中点．

(1)求证：AB₁⊥面A₁BD；

(2)求二面角A－A₁D－B的大小；

(3)求点C到平面A₁BD的距离．

Answer 1

答案：
解析：

解法一：(1)取BC中点O，连结AO． 　　∵△ABC为正三角形，∴AO⊥BC． 　　∵正三棱柱ABC－A1B1C1中，平面ABC⊥平面BCC1B1， 　　∴AO⊥平面BCC1B1． 　　连结B1O，在正方形BB1C1C中，O、D分别为BC、CC1的中点，∴B1O⊥BD，∴AB1⊥BD． 　　在正方形ABB1A1中，AB1⊥A1B，∴AB1⊥平面A1BD． 　　(2)设AB1与A1B交于点G，在平面A1BD中，作GF⊥A1D于F，连结AF，由(1)得AB1⊥平面A1BD，∴AF⊥A1D， 　　∴∠AFG为二面角A－A1D－B的平面角． 　　在△AA1D中，由等面积法可求得AF＝，又∵ 　　 　　所以二面角A－A1D－B的大小为． 　　(3)△A1BD中，BD＝ 　　S△BCD＝1． 　　在正三棱柱中，A1到平面BCC1B1的距离为． 　　设点C到平面A1BD的距离为d． 　　由得， 　　∴ 　　∴点C到平面A1BD的距离为 　　解法二： 　　(1)取BC中点O，连结AO． 　　∵△ABC为正三角形，∴AO⊥BC． 　　∵在正三棱柱ABC－A1B1C1中，平面ABC⊥平面BCC1B1，∴AO⊥平面BCC1B1． 　　取B1C1中点O1，以O为原点，的方向为x、y、z轴的正方向建立空间直角坐标系，则B(1，0，0)，D(－1，1，0)，A1(0，2，)，A(0，0，)，B1(1，2，0)， 　　∴ 　　(2)设平面A1AD的法向量为n＝(x，y，z)． 　　 　　令z＝1得n=(，0，1)为平面A1AD的一个法向量． 　　由(1)知AB1⊥平面A1BD，∴为平面A1BD的法向量． 　　 　　(3)由(2)，为平面A1BD法向量． 　　∵， 　　∴点C到平面A1BD的距离．