Question

不等式ax²+（a+1）x+1＜0的解集不是空集，则实数a的取值范围是

a≠1

．

Answer 1

分析：针对a＞0，a=0，a＜0进行分类讨论，分别由不等式和方程的关系可得a的范围，最后取并集即可得到a的取值范围．

解答：解：当a=0时，不等式ax²+x+1＜0化为x+1＜0，可解得x＜-1，不是空集，满足题意；
当a＞0时，对应的二次函数y=ax²+（a+1）x+1，开口向上，需一元二次方程ax²+x+1=0有两个不同的根，
即△=（a+1）²-4a＞0，解得a≠1，故0＜a＜1或a＞1；
当a＜0时，对应的二次函数y=ax²+（a+1）x+1，开口向下，符合题意，
综上可得，实数a的取值范围是：a≠1．
故答案为；a≠1．

点评：本题考查一元二次不等式的解法．注意问题的等价转化和分类讨论的思想，二次函数的问题经常会利用函数图象进行处理，属于基础题．