Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n=n²+n，数列{b_n}满足b₁+3b₂+3²b₃+…+3^n-1b_n=a_n，n∈N^*．
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（1）通过数列{a_n}的前n项和为S_n=n²+n，求出首项，a_n=S_n-S_n-1，求数列{a_n}的通项公式，通过错位相减法求解{b_n}的通项公式；
（2）通过数列{b_n}的通项公式，判断数列是等比数列，直接求数列{b_n}的前n项和T_n．

解答：解（1）n=1，a₁=2，
n≥2，a_n=S_n-S_n-1=2n
∴a_n=2n （n∈N^*）                    …（4分）
b₁+3b₂+3²b₃+…+3^n-1b_n=a_n，n∈N^*．
b₁+3b₂+3²b₃+…+3^n-2b_n-1=a_n-1，n≥2．
两式作差：3^n-1b_n=a_n-a_n-1=2
∴bn=

2

3n-1

  n≥2，
又∵b₁=2
∴bn=

2

3n-1

  n∈N^*．         …（10分）
（2）数列{b_n}是首项为2，公比为

1

3

的等比数列，
所以T_n=

2(1-( 1 3 )n)

1- 1 3

=3-

1

3n-1

   …（13分）

点评：本题考查等差数列与等比数列的综合应用，数列通项公式的求法，求和的方法，考查分析问题解决问题能力．