Question

如图，在底面为平行四边形的四棱锥P－ABCD中，AB⊥AC，PA⊥平面ABCD，且PA＝AB，点E是PD的中点．

(1)求证：AC⊥PB．

(2)求证：PB∥平面AEC．

(3)求二面角E－AC－B的大小．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)由PA⊥平面ABCD可得PA⊥AC． 　　又AB⊥AC，所以AC⊥平面PAB，所以AC⊥PB． 　　(2)如图，连BD交AC于点O，连EO，则EO是△PDB的中位线，∴EO∥PB． 　　∴PB∥平面AEC． 　　(3)如图，取AD的中点F，连EF，FO，则EF是△PAD的中位线，∴EF∥PA． 　　又PA⊥平面ABCD，∴EF⊥平面ABCD． 　　同理FO是△ADC的中位线，∴FO∥AB， 　　∴FO⊥AC(由三垂线定理可知)， 　　∴∠EOF是二面角E－AC－D的平面角． 　　又FO＝AB＝PA＝EF，∴∠EOF＝45°． 　　而二面角E－AC－B与二面角E－AC－D互补，故所求二面角E－AC－B的大小为135°．

提示：

本题考查线线位置的判断，线面位置的判断以及二面角的知识．