Question

各项均为正数的数列{a_n}中，a₁＝1，S_n是数列{a_n}的前n项和，对任意n∈N_＋，有2S_n＝2pa＋pa_n－p(p∈R).

(1)求常数p的值；

(2)求数列{a_n}的通项公式；

(3)记b_n＝·2ⁿ，求数列{b_n}的前n项和T_n.

Answer 1

(1)由a₁＝1及2S_n＝2pa＋pa_n－p(n∈N_＋)，得：2＝2p＋p－p，∴p＝1.

(2)由2S_n＝2a＋a_n－1①

得2S_n＋1＝2a＋a_n＋1－1②

由②－①，得2a_n＋1＝2(a－a)＋(a_n＋1－a_n)，

即：2(a_n＋1＋a_n)(a_n＋1－a_n)－(a_n＋1＋a_n)＝0，

∴(a_n＋1＋a_n)(2a_n＋1－2a_n－1)＝0.

由于数列{a_n}各项均为正数，

∴2a_n＋1－2a_n＝1，即a_n＋1－a_n＝，

∴数列{a_n}是首项为1，公差为的等差数列，

∴数列{a_n}的通项公式是a_n＝1＋(n－1)×＝，

即a_n＝.

(3)由a_n＝，得：S_n＝，

∴b_n＝·2ⁿ＝n·2ⁿ.

∴T_n＝1×2＋2×2²＋3×2³＋…＋n·2ⁿ.

2·T_n＝1×2²＋2×2³＋3×2⁴＋…＋(n－1)·2ⁿ＋n·2^n＋1，

－T_n＝2＋2²＋2³＋…＋2ⁿ－n·2^n＋1＝－n·2^n＋1＝－(n－1)·2^n＋1－2，

T_n＝(n－1)·2^n＋1＋2.