Question

（2013•浙江）△ABC中，∠C=90°，M是BC的中点，若sin∠BAM=

1

3

，则sin∠BAC=

6

3

．

Answer 1

分析：作出图象，设出未知量，在△ABM中，由正弦定理可得sin∠AMB=

2c

3a

，进而可得cosβ=

2c

3a

，在RT△ACM中，还可得cosβ=

b

( a 2 )2+b2

，建立等式后可得a=

2

b，再由勾股定理可得c=

3

b，而sin∠BAC═

BC

AB

=

a

c

，代入化简可得答案．

解答：解：如图
设AC=b，AB=c，CM=MB=

a

2

，∠MAC=β，
在△ABM中，由正弦定理可得

a 2

sin∠BAM

=

c

sin∠AMB

，
代入数据可得

a 2

1 3

=

c

sin∠AMB

，解得sin∠AMB=

2c

3a

，
故cosβ=cos（

π

2

-∠AMC）=sin∠AMC=sin（π-∠AMB）=sin∠AMB=

2c

3a

，
而在RT△ACM中，cosβ=

AC

AM

=

b

( a 2 )2+b2

，
故可得

b

( a 2 )2+b2

=

2c

3a

，化简可得a⁴-4a²b²+4b⁴=（a²-2b²）²=0，
解之可得a=

2

b，再由勾股定理可得a²+b²=c²，联立可得c=

3

b，
故在RT△ABC中，sin∠BAC=

BC

AB

=

a

c

=

2 b

3 b

=

6

3

，
故答案为：

6

3

点评：本题考查正弦定理的应用，涉及三角函数的诱导公式以及勾股定理的应用，属中档题．