Question

曲线

x2

9

+

y2

4

=1上点到直线x-2y+8=0距离的最小值为

3 5

5

．

Answer 1

分析：设椭圆

x2

9

+

y2

4

=1上任意一点P（3cosθ，2sinθ）到直线x-2y+8=0距离为d，可求得d=

|3cosθ-3sinθ+8|

5

，利用辅助角公式即可求得d的最小值．

解答：解：设椭圆

x2

9

+

y2

4

=1上任意一点为P（3cosθ，2sinθ），点P（3cosθ，2sinθ）到直线x-2y+8=0距离为d，
则由点到直线间的距离公式得：
d=

|3cosθ-4sinθ+8|

5

=

|5cos(θ+φ)+8|

5

（tanφ=

3

4

），
∴d_min=

3 5

5

．
∴曲线

x2

9

+

y2

4

=1上点到直线x-2y+8=0距离的最小值为

3 5

5

．
故答案为：

3 5

5

．

点评：本题考查椭圆的参数方程，考查点到直线的距离公式，考查两角和与差的正弦函数及正弦函数的性质的综合应用，属于中档题．