我们在下面的表格中填写数值:先将第1行的所有空格填上1,再把一个首项为1.公比为q的数列{an}依次填入第一列的空格内,然后按照“任意一格的数是它上面一格的数与它左边一格的数之和的规则填写其他空格．第1列第2列第3列 - 第n列第1行 1 1 1 - 1 第2行 q 第3行 q2 - - 第n行 qn-1 (1)按照填写规则.请在上述表格内填写第二行的空格以及第二列的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

我们在下面的表格中填写数值：先将第1行的所有空格填上1；再把一个首项为1，公比为q的数列{a_n}依次填入第一列的空格内；然后按照“任意一格的数是它上面一格的数与它左边一格的数之和”的规则填写其他空格．

	第1列	第2列	第3列	…	第n列
第1行	1	1	1	…	1
第2行	q
第3行	q²
…	…
第n行	q^n-1

（1）按照填写规则，请在上述表格内填写第二行的空格以及第二列的空格；
（2）试用n、q表示第二列的各数之和；
（3）设第3列的数依次为c₁，c₂，c₃，…，c_n，若c₁，c₂，c₃成等比数列，试求q的值；能否找到q的值，使得数列c₁，c₂，c₃，…，c_n的前m项c₁，c₂，c₃，…，c_m（m≥3）成为等比数列？若能找到，m的值有多少个？若不能找到，说明理由．

分析：（1）按照规定的要求，依次填写即可．
（2）由（1）S=1+（1+q）+（1+q+q²）+…+（1+q+…+q^n-1），各项利用等比数列的前n项和公式化简，再求和．
（3）可知c₁=1，c₂=2+q，c₃=3+2q+q²，c₁，c₂，c₃成等比数列求出q=-

，c₄=4+3q+2q²+q³得知c4=

，而

≠

，所以对于任意的m≥4，c₁，c₂，c₃，…，c_m一定不是等比数列．

解答：解：（1）如表…（3分）

	第1列	第2列	第3列	…	第n列
第1行	1	1	1	…	1
第2行	q	1+q	2+q		（n-1）q
第3行	q²	1+q+q²
…	…
第n行	q^n-1	1+q+…q^n-1

（2）S=1+（1+q）+（1+q+q²）+…+（1+q+…+q^n-1）
当q=1时，S=1+2+3+…+n=

n(n+1)

当q≠1时，1+q+…+q^n-1=

1-qn

1-q

n-(q1+q2+…+qn)

1-q

qn-qn+1

(1-q)2

所以综上可知Sn=

n(n+1)

q=1

1-q

qn-qn+1

(1-q)2

q≠1

（3）可知c₁=1，c₂=2+q，c₃=3+2q+q²
由c22=c1c3⇒q=-

，则c1=1，c2=

，c3=

若m≥3时，c₁，c₂，c₃，…，c_m为等比数列，那么c₁，c₂，c₃一定是等比数列
由上可知此时q=-

，又 c₄=4+3q+2q²+q³得知c4=

而

≠

，所以对于任意的m≥4，c₁，c₂，c₃，…，c_m一定不是等比数列
综上所述，当且仅当m=3且q=-

时，数列c₁，c₂，c₃，…，c_m是等比数列．

点评：本题主要考查等比数列的定义、判断、数列求和．考查阅读、计算、分析解决问题的能力．

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（2007•上海）我们在下面的表格内填写数值：先将第1行的所有空格填上1；再把一个首项为1，公比为q的数列{a_n}依次填入第一列的空格内；然后按照“任意一格的数是它上面一格的数与它左边一格的数之和”的规则填写其它空格．

	第1列	第2列	第3列	…	第n列
第1行	1	1	1	…	1
第2行	q
第3行	q²
…	…
第n行	q^n-1

（1）设第2行的数依次为B₁，B₂，…，B_n，试用n，q表示B₁+B₂+…+B_n的值；
（2）设第3列的数依次为c₁，c₂，c₃，…，c_n，求证：对于任意非零实数q，c₁+c₃＞2c₂；
（3）请在以下两个问题中选择一个进行研究（只能选择一个问题，如果都选，被认为选择了第一问）．
①能否找到q的值，使得（2）中的数列c₁，c₂，c₃，…，c_n的前m项c₁，c₂，…，c_m （m≥3）成为等比数列？若能找到，m的值有多少个？若不能找到，说明理由．
②能否找到q的值，使得填完表格后，除第1列外，还有不同的两列数的前三项各自依次成等比数列？并说明理由．

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