Question

已知函数f（x）=

(sinx-cosx)sin2x

sinx

．
（1）求f（x）的定义域及最小正周期；
（2）求f（x）的对称轴和对称中心．

Answer 1

分析：（1）f（x）解析式分子利用二倍角的正弦函数公式化简，约分后再利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简，利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，根据sinx不为0，求出x的范围；找出ω的值代入周期公式即可求出最小正周期；
（2）根据正弦函数的对称轴及对称中心确定出f（x）的对称轴及对称中心即可．

解答：解：（1）f（x）=

2sinxcosx(sinx-cosx)

sinx

=2cosx（sinx-cosx）=2sinxcosx-2cos²x=sin2x-cos2x-1=

2

sin（2x-

π

4

）-1，
∵sinx≠0，∴x≠kπ，k∈Z；
∵ω=2，∴T=π；
（2）令2x-

π

4

=2kπ+

π

2

，k∈Z，解得：x=kπ+

3π

8

，k∈Z；令2x-

π

4

=2kπ，k∈Z，解得：x=kπ+

π

8

，k∈Z，
则f（x）的对称轴为x=kπ+

3π

8

，k∈Z；对称中心为x=kπ+

π

8

，k∈Z．

点评：此题考查了两角和与差的正弦函数，二倍角额正弦、余弦函数公式，三角函数的周期性及其求法，以及正弦函数的单调性，熟练掌握公式是解本题的关键．