Question

x₁x₂分别是方程x+lgx=3和方程x+10^x=3的一个根，则x₁+x₂=________．

Answer 1

3
分析：设f（x）=lgx，g（x）=10^x，y=3-x，方程x+lgx=3和方程x+10^x=3的根的问题用图象的交点来解释，
解答：方程方程x+lgx=3和方程x+10^x=3的可化为方程lgx=3-x和方程10^x=3-x的，令f（x）=lgx，g（x）=10^x，y=3-x，画图：

显然x₁是函数f（x）=lgx 与 y=3-x图象的交点 的横坐标，x₂是函数g（x）=10^x与 y=3-x的图象的交点的横坐标，由于函数 f（x）=lgx，与g（x）=10^x的图象关于y=x对称，直线 y=3-x也关于y=x 对称，且直线 y=3-x与它们都只有一个交点，故这两个交点关于y=x对称．又因为 两个交点的中点是 y=3-x与y=x 的交点，即（，），所以x₁+x₂=3．
故填3．
点评：利用图象研究方程的根一般都是针对不需要或不能将根求出的题型，其基本思想是将判断方程根的个数问题转化为判断两个函数图象的交点个数问题．本题利用对数函数 与指数函数 互为反函数，而互为反函数的图象关于直线 y=x对称，数形结合，富有创意．